[数学] 確率の練習問題

確率は「ある特定の現象がどれくらいの割合で起きるか」を数値化したものです。数式として表現すると、

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\mathrm{特}\mathrm{定}\mathrm{の}\mathrm{現}\mathrm{象}\mathrm{が}\mathrm{起}\mathrm{き}\mathrm{る}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}{\mathrm{全}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}\end{array}$$

として表現できます。

場合の数や確率に関する解説はこちら。

例題1

考え方

サイコロ2つを投げたときの全ての目の出方は、

$$6\times 6=36(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

そして、出た目の和が5になる場合の各サイコロの目の出方を考えると、以下のようになります。

よって、2つのサイコロの目の和が5になる出方は4通りあることがわかります。

これらの数値を上記の式(1)にあてはめると、

$$\frac{\mathrm{和}\mathrm{が}5\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}{\mathrm{全}\mathrm{て}\mathrm{の}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

以上から求める確率は9分の1とわかります。

このように、確率の問題を解くには、全体のパターン数と求めたい現象のパターン数を計算して、式(1)にあてはめます。

例題2

考え方

「同時に取り出す」ということは、取り出す順番は関係ない組み合わせの問題ということになります。

まず、全てのボールから2個取り出す場合の取り出し方の数を計算します。これは、10個のボールから2個を取り出す場合の数なので、

$${}_{10}{C}_2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

次に、どちらも黒いボールである場合の数を求めます。これは4つの黒いボールから2つを取り出す場合なので、

$${}_4{C}_2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

以上より、式(1)にあてはめて、

$$\frac{\mathrm{両}\mathrm{方}\mathrm{黒}\mathrm{の}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}{\mathrm{全}\mathrm{て}\mathrm{の}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{数}}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$$

以上のことから、求める確率は15分の2であるとわかります。

例題3

考え方

どちらか1人だけが当たる場合は、以下の2通りです。

(1) Aさんだけが当たる場合
(2) Bさんだけが当たる場合

(1)の場合

最初にくじを引くAさんが当たりを引く確率は、まだくじが減っていないので、

$$A\mathrm{さ}\mathrm{ん}\mathrm{が}\mathrm{当}\mathrm{た}\mathrm{り}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{く}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{3}{8}$$

です。その次にくじを引くBさんはハズレを引かなければいけないので、残った7本の中からハズレを引く確率を求めます。

$$B\mathrm{さ}\mathrm{ん}\mathrm{が}\mathrm{ハ}\mathrm{ズ}\mathrm{レ}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{く}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{5}{7}$$

これらを掛け合わせると、Aさんが当たってBさんが外れる場合の確率が求まります。

$$\begin{array}{}\text{(A)}& (1)\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{15}{56}\end{array}$$

(2)の場合

今度は、最初にくじを引くAさんがハズレを引くので、

$$A\mathrm{さ}\mathrm{ん}\mathrm{が}\mathrm{ハ}\mathrm{ズ}\mathrm{レ}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{く}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{5}{8}$$

次にくじを引くBさんは、まだ3本ある当たりのどれかを引くので、

$$A\mathrm{さ}\mathrm{ん}\mathrm{が}\mathrm{ハ}\mathrm{ズ}\mathrm{レ}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{く}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{3}{7}$$

これらを掛け合わせると、AさんがハズレてBさんが当たる場合の確率が求まります。

$$\begin{array}{}\text{(B)}& (2)\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{5}{8}\times \frac{3}{7}=\frac{15}{56}\end{array}$$

式（A）と式（B）の結果を足し合わせたものが、求める確率となります。

$$1\mathrm{人}\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{が}\mathrm{当}\mathrm{た}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{15}{28}$$

以上より、求める確率は15/28と計算できます。