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1組のトランプ（ハート、ダイア、スペード、クローバー各13枚とジョーカー2枚、計54枚）で確率の問題を考えてみましょう。
例題1
トランプのカードは全部で54枚、その中で奇数なのは 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 であり、これがマークの数だけあるから、
$$奇数のカードの数 = 7 \times 4 = 28$$
よって、求める確率は、
$$カードが奇数である確率 = \frac{28}{54} = \frac{14}{27}$$
練習問題1
例題1と同じように考えることができます。
トランプのカードは全部で54枚、その中で偶数なのは 2, 4, 6, 8, 10, 12 であり、これがマークの数だけあるから、
$$奇数のカードの数 = 6 \times 4 = 24$$
よって、求める確率は、
$$カードが奇数である確率 = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} = 44.4％$$
つまり、奇数よりも偶数の方が出る確率が低いことがわかります。
例題2
まず、ジョーカーを2枚引く場合を考えることにします。ジョーカーは2枚しかありませんので、その確率は
$$\frac{ジョーカー2枚}{全ての場合の数} = \frac{_2C_2}{_{54}C_2} = \frac{1}{1431}$$
次に数字について考えます。例えば「1」を2枚引く場合、4枚の「1」の中から2枚を選ぶことになります。
この場合の数は $_4C_2$ で計算できます。
$$\frac{2枚とも「1」}{全ての場合の数} = \frac{_4C_2}{_{54}C_2} = \frac{6}{1431}$$
これが 1〜13 までの数字で同じように考えられることから、
$$同じ数字を2枚引く確率 = \frac{6}{1431} \times 13 = \frac{78}{1431}$$
以上より、同じ数字のトランプカードを2枚引く確率は、
$$\frac{1}{1431} + \frac{78}{1431} = \frac{79}{1431} \fallingdotseq 5.5％$$
練習問題2
例えば「1」を3枚引く場合、4枚の「1」の中から3枚を選ぶことになるので、その場合の数は $_4C_3$ です。
$$\frac{3枚とも「1」}{全ての場合の数} = \frac{_4C_3}{_{54}C_3} = \frac{4}{6201}$$
これが 1〜13 のカードで同じなので、
$$\frac{4}{6201} \times 13 = \frac{4}{477} \fallingdotseq 0.8％$$
例題3
ポーカーで言えば、悪くともスリーカードができる確率です。フルハウスやジョーカーありのフォーカードなども含みます。
まず、54枚のトランプの中から5枚のカードを選ぶ場合の数を計算します。選ぶ順番は関係ないので組み合わせです。
$$_{54}C_5 = \frac{54 \times 53 \times 52 \times 51 \times 50}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3162510$$
次に、5枚選んだ時に3枚同じ数字の数が含まれる場合の数を計算します。例えば、5枚のうち「1」が3枚含まれるという場合、他の2枚は「1」以外であればなんでもいいので、（1以外の数字 + ジョーカー）から2枚を選ぶ場合の数と言えます。
54枚中「1」のカードは4枚なので、この2枚として選ばれるカードの候補は50枚です。この50枚から2枚を選べばいいので、
$$「1」が3枚含まれる場合の数 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225$$
他の12個の数字についても同じことが言えるので、
$$同じ数字が3枚含まれる場合の数 = 1225 \times 13 = 15925$$
以上より、求める確率は、
$$\frac{15925}{3162510} = \frac{3185}{632502} = 約0.5％$$
ジョーカーがあると、数字カードのみの純粋なスリーカードの確率は下がります。
練習問題3
数字のみでフォーカードが出来る確率です。
5枚のうち4枚が同じであるということは、数字1種類を4枚とも引いて、残り1枚はどのカードでも良いという場合です。
どのカードでも良いと言うことは確率で言えば 1 なので、実質この問題は、4枚を引いて4枚とも同じ数字のカードである確率と同じです。
「1」のカードを4枚引く確率を考えると、以下のようになります。
$$\frac{4枚とも「1」}{全ての場合の数} = \frac{_4C_4}{_{54}C_4} = \frac{1}{316251}$$
これが 1〜13 のカードで同じように考えられるので、求める確率は以下のようになります。
$$\frac{13}{316251} = \frac{1}{24327}$$
地道に考えると…
まず、1枚目に引くカードはジョーカー以外であれば何でもいいので、1枚目を引く確率は、
$$\frac{52}{54}$$
2枚目は1枚目に引いた数字と同じ数字を引かなければいけません。残っている同じ数字のカードは3枚ですので、それを引く確率は、
$$\frac{3}{53}$$
3枚目も同じ数字のカードを引くので、
$$\frac{2}{52}$$
4枚目も同様に、
$$\frac{1}{51}$$
最後の1枚は何でもよいので、
$$\frac{50}{50} = 1$$
以上を掛け合わせると、4枚を引いて4枚とも同じ数字のカードである確率が求められます。
$$\frac{52}{54} \times \frac{3}{53} \times \frac{2}{52} \times \frac{1}{51} \times \frac{50}{50} = \frac{1}{24327}$$