数列の基礎とその表現方法

数列とは、文字どおり数が並んで列となったものです。

特にある規則をもって並んだ数字の列のことを指します。

高校数学では数学Bとして学習します。

数列の具体例

例えば、次のようなものが数列と呼ばれます。これは、数が2ずつ増えていく1から9までの数列です。

$$1, 3, 5, 7, 9, 11$$

これは、数が3ずつ増える2から20までの数列です。

$$2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$$

これらのように、終わりがある数列を有限数列といいます。

逆に、無限に続く数列のことを無限数列と呼びます。例えば、以下のようなものが無限数列です。

$$0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …$$

これは、いつまでの2ずつ増え続ける無限数列です。

もちろん、数が増えるだけではなく、減ったり倍増したりするものも数列です。

数列の各部分の呼び方

数列を構成する数字一つひとつのことを「項」と呼びます。

数列に含まれる項には、その場所によって様々な名前がつけられています。ここでは、以下の数列を例に、それらの役割と名前を紹介します。

$$1, 3, 5, 7, 9, 11\tag{1}$$

この数列を以降「数列(1)」と書きます。

初項

初項とは、数列の一番はじめの項のことです。数列(1)では、一番はじめの「1」が初項です。

末項

末項とは、数列の最後の項のことです。数列(1)で言えば「11」が末項です。

無限数列の場合、末項はありません。

第n項

n番目の項のことです。nには数字が入ります。例えば、数列(1)における第3項といえば「5」のことになります。

一般的に、第n項は $a_n$ と表記されます。

練習問題1

項数

数列を構成する項の数です。数列(1)には6つの数字があるので、項数は「6」です。

無限数列の場合は「無限」となります。

一般項とは

数列は、項を全てそのまま書くと長くなってしまいます。例えば、2から98まで3ずつ増える数列を書こうとすると、以下のように非常に長く煩雑です。

$$2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98$$

数列を簡単に書くために、これらの項を簡潔に表現するために使われるnを使った項を表す式を一般項と呼びます。

この数列の一般項は、

$$a_n = 2 + 3(n – 1)$$

と書けます。本当に正しいか実際に数字を入れて確かめてみましょう。

n = 1 のとき

nが1のときは、つまり初項です。

$$a_1 = 2 + 3(1 – 1) = 2$$

これは初項が2であることと一致しています。

n = 2 のとき

$$a_1 = 2 + 3(2 – 1) = 5$$

n = 10 のとき

$$a_1 = 2 + 3(10 – 1) = 29$$

このように、nに数字を当てはめるだけで、第n項の数字がわかります。書ききれない無限数列でも、nに求めたい項の番号を代入するだけで第n項の数字を調べることができます。

練習問題2

練習問題3

以上が数列の基本的な用語や考え方です。次回は等差数列について説明します。