場合の数の練習問題

目の出方を数えます。目の和が8となる場合の2つのサイコロの目の出方は以下のようになります。

以上より、目の和が8となるときの場合の数は5通りです。

サイコロの目の積の最大値が36であることから、その範囲内で出る可能性のある4の倍数と、その時の目の出方を考えます。

以上より、4の倍数となる場合の数は15通りとわかります。

（1）の結果から、2つのサイコロの目の和が8となる場合の数は5通りで、（2）の結果から、目の積が8となる場合は2通りであることがわかっています。これらに重複する目の出方がないため、単純にこれらを足せば答えが得られます。

したがって求める答えは7通りです。

単純に2人を選ぶ場合なので、全員（9人）の中から2人を選ぶ場合の数です。選ぶ順番は関係ないので組み合わせの公式より、

$$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36（通り）$$

解き方1

男子を1人選ぶ場合の数は4通り、女子を1人選ぶ場合の数は5通りです。よって、これらを掛け合わせて

$$4 \times 5 = 20（通り）$$

解き方2

全員の中から2人を選ぶ場合の数から、2人とも男子となる場合の数と、2人とも女子となる場合の数を除けば、自ずと男女1人ずつ選んだ時の場合の数が求まります。

2人とも男子となる場合の数は、

$$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6（通り）$$

2人とも女子となる場合の数は、

$$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10（通り）$$

したがって、男女1人ずつ選ぶときの場合の数は、

$$36 – 6 – 10 = 20（通り）$$

性別に関係なく3人を選ぶときの場合の数は、

$$_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84（通り）$$

少なくとも1人が女子である場合の数は、全体の場合の数から3人とも男子の場合の数を引くことで求められます。3人とも男子（女子が1人も選ばれない）である場合の数は、

$$_4C_3 = _4C_1 = 4（通り）$$

したがって、

$$84 – 4 = 80（通り）$$

求める場合の数は80通りであることが計算できます。

1回目と4回目は表であることが確定しているので、コインの面の出方は、

表,？,？,表

となります。この分かっていない2回目と3回目の出方だけを考えればいいので、

$$2 \times 2 = 4（通り）$$

したがって、求める場合の数は4通りです。

解き方1

3回表が出るのは以下のような場合です。

したがって、求める場合の数は4通りです。

解き方2

4回のうち3回が表ということなので、組み合わせの公式より、

$$_4C_3 = 4（通り）$$

したがって、求める場合の数は4通りです。

[解き方1] B, Cの入り方を地道に数える

B と C が隣り合うときの並べ方を数えると、以下の8通りだとわかります。

BC◯◯◯
◯BC◯◯
◯◯BC◯
◯◯◯BC

CB◯◯◯
◯CB◯◯
◯◯CB◯
◯◯◯CB

◯には残りの3文字を当てはめれば良いですね。

残りの文字を◯に当てはめる場合の数は、3つの文字を一列に並べる順列と考えることができます。

なので、それぞれの並び方に対して、

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6（通り）$$

これが8パターンあるので

$$6 \times 8 = 48（通り）$$

答えは48通りとわかります。

[解き方2] B, Cを一つのグループとして考える

B と C をくっついた1文字と考えます。すると、4つの文字（[BC]という文字と、残りのA, D, E）を並べる順列と見なせます。

[BC]◯◯◯

従って並べ方は、

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24（通り）$$

そして、[BC]の中での並び方が2通り（[BC]と[CB]）があるので、

$$24 \times 2 = 48（通り）$$

答えは48通りとわかります。

A と C が両端に置かれるのは以下のような並べ方の時です。

A◯◯◯C
C◯◯◯A

残りの文字を◯に当てはめれば答えがでます。当てはめ方は3つの文字を一列に並べる順列と見なせるので、

$$3! \times 2 = 6 \times 2 = 12（通り）$$

よって答えは12通りです。

同じ色を何度でも使えるので、各領域に4色の塗り方ができます。したがって、これは重複順列と考えられます。

$$4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256（通り）$$

4つのものを一列に並べる順列と考えられます。$$_4P_4 = 4! = 24（通り）$$

赤を2回使うとする。赤で塗りつぶす領域の選び方は、4つの領域から2つを選ぶ組み合わせの場合の数なので、

$$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6（通り）$$

実際に全て書きだしてみると、以下のような6通りの塗り方があることがわかります。

◯に残りの3色から2色を選んで塗れば良いので、一つの並べ方につき、

$$_3P_2 = 3 \times 2 = 6（通り）$$

以上から、赤を2回使う場合の塗りつぶし方は全部で、

$$6 \times 6 = 36（通り）$$

これが残りの3色（青、緑、黄）を2回使う場合でも同じように考えられるので、全ての場合の数は、

$$36 \times 4 = 144（通り）$$

以上から、答えは144通りです。