目次
前回はシグマ(Σ)の定義とその公式について解説しました。
今回は実際にシグマを使って数列の和を求める練習問題を解いてみましょう。
シグマを使った数列の和
例題1
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (3k + 2)$$
答え
式を整理した後、前回紹介した公式を使ってシグマを変形します。
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (3k + 2)$$
$$= 3 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2$$
$$= 3 \times \frac{1}{2}n(n + 1) + 2n$$
$$= \frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 2n$$
$$= \frac{3}{2}n^2 + \frac{7}{2}n$$
練習問題1
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$$
例題1と同様に考えます。
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$$
$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 2 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 3$$
$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + 2 \times \frac{1}{2}n(n + 1) + 3n$$
$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) + n^2 + n + 3n$$
$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 9n^2 + 25n)$$
$$= \frac{1}{3}n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{25}{6}n$$
例題2
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{10} 6k^2$$
答え
今回は、具体的に項数がわかっているので、数値として和を出すことができます。
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{10} 6k^2$$
$$= 6 \displaystyle \sum_{k = 1}^{10} k^2$$
$$= 6 \times \frac{1}{6} \times 10 \times (10 + 1)(2 \times 10 + 1)$$
$$= 10 \times 11 \times 21 = 2310$$
練習問題2
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{4}k^3$$
例題2と同様に考えます。
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{4}k^3$$
$$= \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{k = 1}^{8} k^3$$
$$= \frac{1}{4} \times \left\{\frac{1}{2} \times 8 \times (8 + 1)\right\}^2$$
$$= \frac{1}{4} \times 36^2 = 324$$
例題1
$$1\cdot3 , 2\cdot4 , 3\cdot5 , \cdots$$
答え
この数列の一般項は、文字 $k$ を使って次のように書けます。
$$a_k = k \cdot (k + 2) = k^2 + 2k$$
よって、数列の第n項までの和はシグマを使って以下のように計算できます。
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_k$$
$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k)$$
$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 2 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k$$
$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + 2 \times \frac{1}{2}n(n + 1)$$
$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + n^2 + n$$
$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) + n^2 + n$$
$$= \frac{1}{3}n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{7}{6}n$$
$$a_n = 3(n – 1) + 2$$
変数 $n$ が 1 から 20 になるまでの和をシグマで計算すればいいので、
$$\displaystyle \sum_{n = 1}^{20} a_n = \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} (3n – 1) + 2$$
$$= 3 \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} n – \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} 1 + 2$$
$$= 3 \times \frac{1}{2} \times 20 \times 21 – 20 + 2$$
$$= 630 – 20 + 2 = 612$$
別解
これは、初項 2、公差 3、項数 20 の等差数列の和なので、等差数列の和の公式を使っても計算できます。
$$S_{20} = \frac{1}{2}n\{2a_1 + (n – 1)d\}$$
$$= \frac{1}{2} \times 20 \times (2 \times 2 + 19 \times 3)$$
$$= 10 \times (4 + 57) = 610$$