[数学] 等差数列の練習問題

等差数列の一般項の式は、

$$a_n = a_1 + (n – 1)d$$

これに、問題文で与えられた値を代入すると、

$$a_n = -6 + (n – 1) \times 7 = 7n – 13$$

これが 92 になるときの $n$ を求めればいいので、

$$92 = 7n – 13$$

$$7n = 105$$

$$n = 15$$

以上より、92 はこの数列の第15項の値であることがわかります。

等差数列であることから、ある項から一つ前の項を引いた値はどこも等しくなるので、以下の式が成り立ちます。

$$x – (-3) = y – x = 18 – y$$

この式から、以下の2つの式が導きだせます。

$$2x = y – 3\tag{1}$$

$$x = 2y – 18\tag{2}$$

式(2)を式(1)に代入して、

$$4y – 36 = y – 3$$

$$3y = 33$$

$$y = 11$$

この値を式(2)に代入すると、

$$x = 4$$

したがって問題文の数列は以下のようであることがわかります。

$$-3, 4, 11, 18, …$$

これは初項 -3、公差 7 の等差数列なので、一般項の式は、

$$a_n = -3 + (n – 1) \times 7$$

$$a_n = 7n – 10$$

この数列は、初項が 2、公差が 9 の等差数列なので一般項は、

$$a_n = 2 + (n – 1) \times 9$$

$$a_n = 9n – 7$$

第２０項は $a_{20}$ 、つまり $n = 20$ の時であるから、

$$a_{20} = 9 \times 20 – 7 = 173$$

等差数列の部分和の公式より、

$$S_n = \frac{1}{2}n\{2a_1 + (n – 1)d\}$$

この数列は、初項が 2、公差が 9 の等差数列なので、

$$S_n = \frac{1}{2} \times 20 \times (4 + 19 \times 9)$$

$$S_n = 10 \times (4 + 171) = 1750$$

7の倍数を数列としてみてみると、100までのものは、

$$7, 14, 21, 28, …, 98$$

つまり、7の倍数は、初項が 7、公差も 7 の等差数列と見なせます。

そして、98 はこの数列における何項目であるかは、以下のように求められます。

$$100 \div 7 = 14 (あまり2)$$

なので、98 は第14項目であることがわかります。

等差数列の和の公式より、

$$S_n = \frac{1}{2}n(a_1 + a_l)$$

$$\frac{1}{2} \times 14 \times (7 + 98)$$

$$7 \times 105 = 735$$

等差数列の部分和の公式より、初項から第8項までの和から以下の式が導き出せます。

$$S_n = \frac{1}{2}n\{2a_1 + (n – 1)d\}$$

$$100 = \frac{1}{2} \times 8 \times \{2a_1 + (8 – 1)d\}$$

$$100 = 4 \times (2a_1 + 7d)$$

$$2a_1 + 7d = 25\tag{1}$$

初項から第20項までの和は、

$$100 + 990 = 1090$$

したがって、同じように以下の式が導き出せます。

$$1090 = \frac{1}{2} \times 20 \times \{2a_1 + (20 – 1)d\}$$

$$1090 = 10 \times (2a_1 + 19d)$$

$$2a_1 + 19d = 109\tag{2}$$

式(2)から式(1)の両辺を引くと、

$$12d = 84$$

$$d = 7$$

これを、式(1)に代入すると、

$$2a_1 + 49 = 25$$

$$a_1 = -12$$

したがって、この数列は初項 -12、公差 7 の等差数列であるとわかります。以上のことから、この数列の一般項は、

$$a_n = -12 + (n – 1) \times 7 = 7n – 19$$

数列の和が最大となるときは、項がマイナスとなる前の項までを足したときです。

この数列の初項は 44、公差は -5 なので、一般項は、

$$a_n = a_1 + (n – 1)d = 44 + (n – 1) \times -5 = -5n + 49$$

これがプラスとなる時の $n$ は、

$$-5n + 49 > 0$$

$$5n < 49$$ $$n < \frac{49}{5} = 8.8$$ つまり、$n$ が 8.8 より小さい整数のとき、項の数がプラスになります。したがって、$n$ が最後にプラスとなるのは $n = 8$ のときです。 以上のことから、初項から第8項までの和が最大値となります。その値は、

$$S_8 = \frac{1}{2} \times 8 \times \{2 \times 44 + (8 – 1) \times -5\}$$

$$S_8 = 4 \times (88 – 35) = 4 \times 53 = 212$$