極限の基本的な考え方

lim（極限 : limit）を使った基本的な問題の考え方です。

極限の基本書式

$${\displaystyle \underset{x\to N}{lim}f(x)}$$

関数 $f(x)$ の $x$ の値を「$N$」に近づけていった時に、$f(x)$ の値がどうなるかを答えるのが、極限の問題の基本です。

注意が必要なことは、「$N$」に正の方向から近づくのか、負の方向から近づくのかによって答えが変化することです。

正の方向から 0 に近づく

関数 $f(x)$ における $x$ の値を、正の値から 0 に近づける場合は以下のように書きます。

$${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}f(x)}$$

正の値から 0 に近づけるというのは、具体的には以下のように $x$ の値を変化させるということです。

$$1,0.1,0.01,0.001,0.0001,\cdots ,\stackrel{\mathrm{\infty }}{\overbrace{0.00000\cdot 00000}}1$$

このように、プラスの値がどんどん小さくなっていきます。ただし、0 にはなりません。

例えば、$f(x)=\frac{1}{x}$ であった場合、この式の答えは次のようになります。

$${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }}$$

実際に x に値を入れてみると、次のようになっていくことがわかります。

$$\frac{1}{1},\frac{1}{0.1},\frac{1}{0.01},\cdots ,\frac{1}{0.00000\cdot 000001},\mathrm{\infty }$$

このように分子が小さくなっていくため、分数の値はどんどん大きくなって無限に近づいていきます。

負の方向から 0 に近づく

先ほどとは逆に、負の値が小さくなって 0 に近づく場合は以下のように書きます。

$${\displaystyle \underset{x\to -0}{lim}f(x)}$$

負の値から 0 に近づけるというのは、具体的には以下のように $x$ の値を変化させるということです。

$$-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,\cdots ,-\stackrel{\mathrm{\infty }}{\overbrace{0.00000\cdot 00000}}1$$

例えば、$f(x)=\frac{1}{x}$ であった場合、この式の答えは次のようになります。

$${\displaystyle \underset{x\to -0}{lim}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }}$$

注意が必要なのは、マイナスの無限になることです。

実際に x に値を入れてみると、次のようになっていくことがわかります。

$$\frac{1}{-1},\frac{1}{-0.1},\frac{1}{-0.01},\cdots ,\frac{1}{-0.00000\cdot 000001},-\mathrm{\infty }$$

このように分子がマイナスの値で小さくなっていくため、分数の値はどんどん大きくなって負の無限に近づいていきます。

正の無限に近づく

関数 $f(x)$ における $x$ の値を、$+\mathrm{\infty }$ に近づける場合は以下のように書きます。

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$$

正の値から 0 に近づけるというのは、具体的には以下のように $x$ の値を変化させるということです。

$$1,10,100,1000,10000,\cdots ,1\stackrel{\mathrm{\infty }}{\overbrace{00000\cdot 00000}}$$

このように、プラスの値がどんどん小さくなっていきます。ただし、0 にはなりません。

例えば、$f(x)=\frac{1}{x}$ であった場合、この式の答えは次のようになります。

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=+0}$$

実際に x に値を入れてみると、次のようになっていくことがわかります。

$$\frac{1}{1},\frac{1}{10},\frac{1}{100},\cdots ,\frac{1}{100000\cdot 00000},+0$$

このように分母が大きくなっていくため、分数の値はどんどん小さくなり、正の方向から 0 に近づいていきます。

負の無限に近づく

関数 $f(x)$ における $x$ の値を、$-\mathrm{\infty }$ に近づける場合は以下のように書きます。

$${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$$

正の値から 0 に近づけるというのは、具体的には以下のように $x$ の値を変化させるということです。

$$-1,-10,-100,-1000,-10000,\cdots ,-1\stackrel{\mathrm{\infty }}{\overbrace{00000\cdot 00000}}$$

このように、プラスの値がどんどん小さくなっていきます。ただし、0 にはなりません。

例えば、$f(x)=\frac{1}{x}$ であった場合、この式の答えは次のようになります。

$${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=-0}$$

実際に x に値を入れてみると、次のようになっていくことがわかります。

$$\frac{1}{-1},\frac{1}{-10},\frac{1}{-100},\cdots ,\frac{1}{-100000\cdot 00000},-0$$

このように分母が負の方向に大きくなっていくため、分数の値はどんどん小さくなり、負の方向から 0 に近づいていきます。

例題

2に正の方向から近づく極限

$${\displaystyle \underset{x\to 2+0}{lim}\frac{1}{x–2}}$$

正の方向から2に近づくということは、2より大きい数値から数を小さくしていって2に近づけるということなので、答えは無限になります。

$${\displaystyle \underset{x\to 2+0}{lim}\frac{1}{x–2}=\mathrm{\infty }}$$

2に負の方向から近づく極限

同じ問題でも、負の方向から近づけた場合は答えが変わります。

負の方向から2に近づくということは、2より小さい数値から数を大きくしていって2に近づけるということなので、答えは負の無限になります。

$${\displaystyle \underset{x\to 2-0}{lim}\frac{1}{x–2}=-\mathrm{\infty }}$$