シグマ(Σ)を使った数列の和の練習問題

By | 2016年10月18日

前回シグマ(Σ)の定義とその公式について解説しました。

今回は実際にシグマを使って数列の和を求める練習問題を解いてみましょう。

シグマを使った数列の和

例題1

シグマを使った次の式の和はいくらか?

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (3k + 2)$$

答え

式を整理した後、前回紹介した公式を使ってシグマを変形します。

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (3k + 2)$$

$$= 3 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2$$

$$= 3 \times \frac{1}{2}n(n + 1) + 2n$$

$$= \frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 2n$$

$$= \frac{3}{2}n^2 + \frac{7}{2}n$$

練習問題1

シグマを使った次の式の和はいくらか?

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$$

答えを見る

例題1と同様に考えます。

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$$

$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 2 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 3$$

$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + 2 \times \frac{1}{2}n(n + 1) + 3n$$

$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) + n^2 + n + 3n$$

$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 9n^2 + 25n)$$

$$= \frac{1}{3}n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{25}{6}n$$

例題2

シグマを使った次の式の和はいくらか?

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{10} 6k^2$$

答え

今回は、具体的に項数がわかっているので、数値として和を出すことができます。

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{10} 6k^2$$

$$= 6 \displaystyle \sum_{k = 1}^{10} k^2$$

$$= 6 \times \frac{1}{6} \times 10 \times (10 + 1)(2 \times 10 + 1)$$

$$= 10 \times 11 \times 21 = 2310$$

練習問題2

シグマを使った次の式の和はいくらか?

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{4}k^3$$

答えを見る

例題2と同様に考えます。

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{4}k^3$$

$$= \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{k = 1}^{8} k^3$$

$$= \frac{1}{4} \times \left\{\frac{1}{2} \times 8 \times (8 + 1)\right\}^2$$

$$= \frac{1}{4} \times 36^2 = 324$$

例題1

次の数列の一般項 $a_k$ は? またこの数列の第n項までの和はいくらか?

$$1\cdot3 , 2\cdot4 , 3\cdot5 , \cdots$$

答え

この数列の一般項は、文字 $k$ を使って次のように書けます。

$$a_k = k \cdot (k + 2) = k^2 + 2k$$

よって、数列の第n項までの和はシグマを使って以下のように計算できます。

$$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_k$$

$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k)$$

$$= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 2 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k$$

$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + 2 \times \frac{1}{2}n(n + 1)$$

$$= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + n^2 + n$$

$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) + n^2 + n$$

$$= \frac{1}{3}n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{7}{6}n$$

一般項が以下である数の第20項までの和はいくらか?

$$a_n = 3(n - 1) + 2$$

答えを見る

変数 $n$ が 1 から 20 になるまでの和をシグマで計算すればいいので、

$$\displaystyle \sum_{n = 1}^{20} a_n = \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} (3n - 1)$$

$$= 3 \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} n - \displaystyle \sum_{n = 1}^{20} 1$$

$$= 3 \times \frac{1}{2} \times 20 \times 21 - 20$$

$$= 630 - 20 = 610$$

別解

これは、初項 2、公差 3、項数 20 の等差数列の和なので、等差数列の和の公式を使っても計算できます。

$$S_{20} = \frac{1}{2}n\{2a_1 + (n - 1)d\}$$

$$= \frac{1}{2} \times 20 \times (2 \times 2 + 19 \times 3)$$

$$= 10 \times (4 + 57) = 610$$

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