【SPI】鶴亀算(つるかめ算)の計算方法と練習問題

By | 2016年9月3日

鶴亀算つるかめ算)は2つの要素を同時に考える必要のある計算です。そのため、2つの式を利用して解くことになります。

具体的な例題を見てみましょう。

例題1

鶴亀算の名前が表す通りの典型的な問題です。

鶴と亀が合計で9匹いる。鶴と亀の足の数を合わせると24本になる。鶴と亀はそれぞれ何匹か?

考え方

鶴の数を $x$、亀の数を $y$ とします。まず、鶴と亀の合計数が 9 なので以下の式が成り立ちます。

$$x + y = 9\tag{1}$$

鶴の足は2本、亀の足は4本であることを考えると、足の数から以下の式を立てることができます。

$$2 \times x + 4 \times y = 24\tag{2}$$

以上の2つの式が同時に成り立つ $x$ と $y$ を求めればいいですね。

式(1)を変形すると、以下のようになります。

$$x = 9 - y\tag{3}$$

この式を、式(2)に代入すると、

$$2 \times (9 - y) + 4 \times y = 24$$

$$18 - 2 \times y + 4 \times y = 24$$

$$2 \times y = 6$$

$$y = 3\tag{4}$$

この結果を式(1)に代入すると、

$$x + 3 = 9$$
$$x = 6$$

以上のことから、鶴($x$)は6羽、亀($y$)は3匹とわかります。

練習問題1

100円玉と500円玉がいくつかある。合計金額は4500円で、100円玉の枚数は500円玉の4倍だった。それぞれ何枚あるか?
答えを見る

100円玉の枚数を $x$、500円玉の枚数を $y$ とする。

合計金額が4500円ですので、

$$100 \times x + 500 \times y = 4500\tag{1}$$

また、100円玉の枚数は500円玉の4倍ということから、

$$x = 4 \times y\tag{2}$$

式(2)を式(1)に代入すると、

$$100 \times (4 \times y) + 500 \times y = 4500$$
$$400 \times y + 500 \times y = 4500$$
$$900 \times y = 4500$$
$$y = 5$$

この結果を式(2)に代入すると、

$$x = 4 \times 5 = 20$$

以上のことから、100円玉が20枚、500円玉が5枚ということがわかります。

例題2

少しひねった鶴亀算です。

ある値段の商品を30個買おうとしたが、所持金が400円足りなかった。買う商品の数を25個にしたところ、今度は200円余った。商品の値段はいくらか?

考え方

問題文に登場するもので、わかっていない数値を記号としておきます。今回は「商品の値段」と「所持金」がわかりませんので、これを $x$、$y$ とします。

これらの記号を使って問題文の条件から式を立ててみます。

商品を30個買おうとして所持金が400円足りなかったということは、所持金が商品30個の金額よりも400円少なかったということなので、次の式が作れます。

$$y = x \times 30 - 400\tag{1}$$

買う数を25個に減らした場合は逆に、所持金が商品25個分の金額がよりも200円多いということなので、

$$y = x \times 25 + 200\tag{2}$$

この2つの式から、 次の式が成り立ちます。

$$x \times 30 - 400 = x \times 25 + 200$$

$$x \times 5 = 600$$

$$x = 120$$

よって商品の値段は120円ということがわかりました。これで問題の答えは得られました。

ちなみに所持金は、これを式(1)か式(2)に代入すると求められます。試しに式(1)に代入してみます。

$$y = 120 \times 30 - 400 = 3200$$

所持金は3200円でした。

練習問題2

1個120円の果物と1個180円のお菓子を合わせて20個買って3000円出すとお釣りが120円だった。果物とお菓子の値段はそれぞれいくらか?
答えを見る

果物の数をx、お菓子の数をyとする。買った個数から、

$$x + y = 20\tag{1}$$

合計金額が3000円より120円安かったことから、

$$120 \times x + 180 \times y = 3000 - 120\tag{2}$$

式(1)を変形して、

$$x = 20 - y\tag{3}$$

これを式(2)に代入すると、

$$120 \times (20 - y) + 180 \times y = 3000 - 120$$

$$2400 - 120 \times y + 180 \times y = 2880$$

$$60 \times y = 480$$

$$y = 8$$

よって、買ったお菓子の数が8個とわかりました。これを式(1)に代入すると、

$$x + 8 = 20$$

$$x = 12$$

したがって、買った果物の数は12個とわかります。

例題3

表から情報を読み取るタイプの鶴亀算です。

棒A 棒B
長さ 18cm 24cm
重さ 120g 200g

上の2種類の棒をつなげて、長さ204cm、重さ1520gの棒とするには、それぞれ何本使えば良いか?

(ただし接着部分の長さと重さは無視する)

考え方

棒Aの本数を a、棒Bの本数を b とおきます。

長さが204cmとなることから、次の式が成り立ちます。

$$18 \times a + 24 \times b = 204\tag{1}$$

また、重さが1520gであることから、以下の式が成り立ちます。

$$120 \times a + 200 \times b = 1520\tag{2}$$

式(2)を計算のために変形します。両辺を10で割ると、

$$12 \times a + 20 \times b = 152\tag{2'}$$

a の係数を式(1)と合わせるために、両辺を1.5倍します。

$$18 \times a + 30 \times b = 228\tag{2''}$$

式(2'')の両辺から、式(1)の両辺を引くと、

$$18 \times a + 30 \times b - (18 \times a + 24 \times b) = 228 - 204$$

$$6 \times b = 24$$

$$b = 4$$

この結果を式(1)に代入して、

$$18 \times a + 24 \times 4 = 204$$

$$18 \times a = 204 - 96$$

$$18 \times a = 108$$

$$a = 6$$

以上より、棒Aが6本、棒Bが4本必要だとわかります。

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