場合の数の練習問題

By | 2016年8月10日

様々な場合の数の練習問題と解答です。問題は順次追加されます。

練習問題1

大小2つのサイコロを振って、以下の現象が起こる場合の数は?
(1) 目の和が8となる場合の数
(2) 目の積が4の倍数となる場合の数
(3) 目の和または積が8となる場合の数
(1)の答えを見る

目の出方を数えます。目の和が8となる場合の2つのサイコロの目の出方は以下のようになります。

サイコロ大の目 サイコロ小の目
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2

以上より、目の和が8となるときの場合の数は5通りです。

(2)の答えを見る

サイコロの目の積の最大値が36であることから、その範囲内で出る可能性のある4の倍数と、その時の目の出方を考えます。

4の倍数 サイコロ大 サイコロ小
4 2 2
8 2 4
4 2
12 2 6
3 4
4 3
6 2
16 4 4
20 4 5
5 4
24 4 6
6 4
28 - -
32 - -
36 6 6

以上より、4の倍数となる場合の数は15通りとわかります。

(3)の答えを見る

(1)の結果から、2つのサイコロの目の和が8となる場合の数は5通りで、(2)の結果から、目の積が8となる場合は2通りであることがわかっています。これらに重複する目の出方がないため、単純にこれらを足せば答えが得られます。

したがって求める答えは7通りです。

練習問題2

男子が4人、女子が5人いる。以下の場合の数はいくらか?
(1) 代表を2人選ぶ方法は何通か?
(2) 2人を選ぶ際に、男女1人ずつとする場合は何通か?
(3) 3人を選ぶ際に、少なくとも1人は女子である場合は何通か?
(1)の答えを見る

単純に2人を選ぶ場合なので、全員(9人)の中から2人を選ぶ場合の数です。選ぶ順番は関係ないので組み合わせの公式より、

$$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36(通り)$$

(2)の答えを見る

解き方1

男子を1人選ぶ場合の数は4通り、女子を1人選ぶ場合の数は5通りです。よって、これらを掛け合わせて

$$4 \times 5 = 20(通り)$$

解き方2

全員の中から2人を選ぶ場合の数から、2人とも男子となる場合の数と、2人とも女子となる場合の数を除けば、自ずと男女1人ずつ選んだ時の場合の数が求まります。

2人とも男子となる場合の数は、

$$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6(通り)$$

2人とも女子となる場合の数は、

$$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10(通り)$$

したがって、男女1人ずつ選ぶときの場合の数は、

$$36 - 6 - 10 = 20(通り)$$

(3)の答えを見る

性別に関係なく3人を選ぶときの場合の数は、

$$_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84(通り)$$

少なくとも1人が女子である場合の数は、全体の場合の数から3人とも男子の場合の数を引くことで求められます。3人とも男子(女子が1人も選ばれない)である場合の数は、

$$_4C_3 = _4C_1 = 4(通り)$$

したがって、

$$84 - 4 = 80(通り)$$

求める場合の数は80通りであることが計算できます。

練習問題3

1枚のコインを4回投げるとき、以下の場合の数はいくらか?
(1) 1回目と4回目が表である場合の数
(2) 表が3回でる場合の数
(1)の答えを見る

1回目と4回目は表であることが確定しているので、コインの面の出方は、

表,?,?,表

となります。この分かっていない2回目と3回目の出方だけを考えればいいので、

$$2 \times 2 = 4(通り)$$

したがって、求める場合の数は4通りです。

(2)の答えを見る

解き方1

3回表が出るのは以下のような場合です。

1回目 2回目 3回目 4回目

したがって、求める場合の数は4通りです。

解き方2

4回のうち3回が表ということなので、組み合わせの公式より、

$$_4C_3 = 4(通り)$$

したがって、求める場合の数は4通りです。

練習問題4

A, B, C, D, E の5文字を一列に並べる時、次のような並べ方は何通か?
(1) B と C が隣り合う場合
(2) A と C が両端に置かれる場合
(1)の答えを見る

[解き方1] B, Cの入り方を地道に数える

B と C が隣り合うときの並べ方を数えると、以下の8通りだとわかります。

BC◯◯◯
◯BC◯◯
◯◯BC◯
◯◯◯BC

CB◯◯◯
◯CB◯◯
◯◯CB◯
◯◯◯CB

◯には残りの3文字を当てはめれば良いですね。

残りの文字を◯に当てはめる場合の数は、3つの文字を一列に並べる順列と考えることができます。

なので、それぞれの並び方に対して、

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6(通り)$$

これが8パターンあるので

$$6 \times 8 = 48(通り)$$

答えは48通りとわかります。

[解き方2] B, Cを一つのグループとして考える

B と C をくっついた1文字と考えます。すると、4つの文字([BC]という文字と、残りのA, D, E)を並べる順列と見なせます。

[BC]◯◯◯

従って並べ方は、

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24(通り)$$

そして、[BC]の中での並び方が2通り([BC]と[CB])があるので、

$$24 \times 2 = 48(通り)$$

答えは48通りとわかります。

(2)の答えを見る

A と C が両端に置かれるのは以下のような並べ方の時です。

A◯◯◯C
C◯◯◯A

残りの文字を◯に当てはめれば答えがでます。当てはめ方は3つの文字を一列に並べる順列と見なせるので、

$$3! \times 2 = 6 \times 2 = 12(通り)$$

よって答えは12通りです。

練習問題5

赤、青、緑、黄のインクを使って図の A, B, C, D の領域に色をつけたい。

色を塗り分ける場合の数の練習問題

(1) 同じ色を何度でも使っていい場合、何通の塗り方があるか?
(2) 4色全てを使って塗り分ける場合、何通の塗り方があるか?
(3) 3色を使って塗り分ける場合、何通の塗り方があるか。ただし、1色だけ2回使ってよいとする。

(1)の答えを見る

同じ色を何度でも使えるので、各領域に4色の塗り方ができます。したがって、これは重複順列と考えられます。

$$4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256(通り)$$

(2)の答えを見る

4つのものを一列に並べる順列と考えられます。$$_4P_4 = 4! = 24(通り)$$

(3)の答えを見る

赤を2回使うとする。赤で塗りつぶす領域の選び方は、4つの領域から2つを選ぶ組み合わせの場合の数なので、

$$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6(通り)$$

実際に全て書きだしてみると、以下のような6通りの塗り方があることがわかります。

A B C D

◯に残りの3色から2色を選んで塗れば良いので、一つの並べ方につき、

$$_3P_2 = 3 \times 2 = 6(通り)$$

以上から、赤を2回使う場合の塗りつぶし方は全部で、

$$6 \times 6 = 36(通り)$$

これが残りの3色(青、緑、黄)を2回使う場合でも同じように考えられるので、全ての場合の数は、

$$36 \times 4 = 144(通り)$$

以上から、答えは144通りです。

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