場合の数と階乗

By | 2016年8月2日

前回は順列の公式について解説しました。

今回は場合の数を計算するときによく登場する計算を簡単に表記する階乗について解説します。

n個のもの全てを一列に並べる場合の数

前回最後に解いた、色のついたボールを並べる練習問題をもう一度見てみます。

ボールが8つある。それぞれに赤、青、緑、黄、紫、橙、白、黒の色が付いている。これら全てを一列に並べる方法は何通り?

これは「8つのものから8つ選んで並べる順列」であり、次のように場合の数を求められるのでしたね。

$$_8P_8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320(通り)$$

「8つのものから8つ選んで並べる」を言い換えると「8つのもの全てを一列に並べる」ということができます。

一般化すると、「n個のもの全てを一列に並べる」ときの場合の数は、順列の公式を使って次のように書けます。

$$_nP_n = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1$$

つまり、n個のもの全てを一列に並べる場合の数は「nから1ずつ引いていって1になるまで掛け続ける」という計算で求められると言えます。

この計算は確率や統計を考えるときによく登場します。そこで、これを簡単に表すための書き方があります。それを階乗といいます。

階乗はエクスクラメーションマーク(!)を数字の後につけて表現します。ビックリマークともいいますね。

$$n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1$$

例えば、5の階乗は次のようになります。

$$5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120$$

ちなみに 0 の階乗は 1 と定義します。

$$0! = 1$$

厳密な数学的定義はここでは触れません。何もないものを並べる場合の数は「何も並べない」という1通りしかないと考えるとすんなり受け入れられると思います。

練習問題1

10の階乗はいくつ?

答えを見る

10から1まで、一ずつ引いていった数を全て掛けた答えです。

$$10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800$$

練習問題2

1から9までのカードを全て並べてできる数は何通り?

答えを見る

9個のものを全て一列に並べる場合の数ですね。

$$9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362880(通り)$$

次回は組み合わせについて解説します。

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