場合の数とは

By | 2016年8月2日

場合の数は確率の基礎

確率を正しく計算するためには、場合の数の数え方を知っている必要があります。

今回は、場合の数の考え方と実際の数え方を解説します。

場合の数とは?

場合の数とは「ある現象が起きるパターンの数」です。「〜通り」と数えることができるものです。

例えば、次のイラストのような正六面体のサイコロを振ることを考えます。

サイコロのイラスト

このサイコロを振って「1以外の数字が出る場合の数パターン)」はいくつでしょうか? 実際に数えてみましょう。

2, 3, 4, 5, 6

5通りですね。

それでは「サイコロの目が偶数になる場合の数」は何通りでしょうか?

サイコロの目の中で偶数の数字は、

2, 4, 6

の3つですね。よって、サイコロの目が偶数になる場合の数、つまり、偶数が出るパターンは3通りであると言えます。

このように、特定の現象が起こるパターン数が「場合の数」です。場合の数は、丁寧に数え上げれば必ずわかります。

練習問題

学校で勉強する場合の数の単元では、よくサイコロを2つ使った問題が登場します。今回はそれを題材に場合の数を数え上げる練習をしてみましょう。

練習問題1

大きいサイコロと小さいサイコロがある。これらを同時に振って、出る目の合計が8になる場合の数はいくつか。

さて、この問題ではサイコロに大きさがあり、2つのサイコロを区別することできます

大きいサイコロを振って出た目が1で、小さいサイコロを振って出た目が2であるような場合を、次のように表記することにします。

(大, 小)=(1, 2)

2つのサイコロが区別できますので、(大, 小)=(1, 2)と(大, 小)=(2, 1)は別のパターンとして数えます。

このことに注意して、大小2つのサイコロの目の合計が8になる出方を数えてみましょう。

答えを見る

出た目の合計が8になる出方は、

(大, 小)=(2, 6)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 3)、(6, 2)

以上の5通りになります。

2と6、3と5が出るときは、どちらのサイコロでどの目が出ているかで区別が発生します。

どちらのサイコロも同じ目が出るとき(この問題の場合はどちらも4が出るとき)は区別しようがありませんので1通りです。

練習問題2

大きいサイコロと小さいサイコロがある。これらを同時に振って、出る目が同じ(ゾロ目)になる場合の数は?

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出た目がどちらとも同じ場合です。ゾロ目はサイコロが区別できてもできなくても1通りしかありませんので、

(大, 小)=(1, 1)、(2, 2)、(3, 3)、(4, 4)、(5, 5)、(6, 6)

以上の6通りになります。

次に、サイコロを区別しない場合を考えてみましょう。どちらのサイコロで出たかは問題ではなく、何が出たかが重要である場合、サイコロを区別することに意味はありませんね。

このような場合、(大, 小)=(1, 2)と(大, 小)=(2, 1)は同じものということになります。出た目の組み合わせ(何と何があるか)が重要になります。

練習問題3

同じ大きさの2つサイコロを同時に振って、それらの目が異なるときの目の組み合わせは何通りか?

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今回はサイコロに区別はありませんので、

(1, 2)、(1, 3)、(1, 4)、(1, 5)、(1, 6)

(2, 3)、(2, 4)、(2, 5)、(2, 6)

(3, 4)、(3, 5)、(3, 6)

(4, 5)、(4, 6)

(5, 6)

以上の15通りになります。

場合の数は一つづつ数えていけば、必ず何通りか調べることができます。しかし、膨大な数の組み合わせなどがある場合は、数え上げるのが大変です。

次回はさらに場合の数について練習をしながら、簡単に数えるための方法を紹介していきたいと思います。

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