【SPI】集合論 - ベン図を使った問題の解き方

By | 2017年1月9日

数学の集合論の問題の解き方と解説です。

SPIの非言語問題としても出題される分野です。

例題1

50人がある2科目の試験を受けた。各科目の合格者数は以下の表の通りであった。

科目 合格者数(人)
A 34
B 26

(1)両方の試験に合格した人数が18人であるとき、どちらとも不合格だったのは何人か?

(2)両方の試験に合格した人数は、何人以上何人以下か?

考え方

このような問題は、ベン図ヴェン図)を書くと考えやすくなります。

ベン図とは、以下のように、各条件に当てはまるものの数がどれだけになるかを視覚的に確認できる図です。

基本的なベン図

その名前は、ベン図の創始者とされるジョン・ヴェン(1834〜1923)から付けられているとされます。

(参考: 筑波大学 人文社会系 集合演算とヴェン図 橋本康二

このベン図の各部に数値を当てはめていきます。

今回の問題では、50人が全体、科目Aに合格した34人が aとcを合わせた部分、科目Bに合格した26人が bとcを合わせた部分、どちらとも合格した人数が cの部分のみ、そして、どちらとも不合格だった人数が円の外側の部分 d となります。

科目Aだけに合格した人数は aの部分のみ、科目Bだけに合格した人数は bの部分のみ、となります。

(1)では、両方とも合格した人数が18人、つまり $c = 18$ とわかっているので、図を以下のように書くことができます。

問題の数値を当てはめたベン図

(1)で求めるべきものは d の部分にあてはまる数です。

これを求めるためには、全体の人数から円Aと円Bにあてはまる人数を引けば良いことがこのベン図からわかります。

それでは、実際に計算してみましょう。

円Aの全体試験Aに合格した人数)が34人で、そのうち試験Bも合格している人は18人います。

円Bの全体試験Bに合格した人数)が26人で、そのうち試験Aも合格している人は18人います。

つまり、試験Aだけに合格している人数は $34 - 18 = 16$ です。(ベン図では a から c を除いた領域)

同様に、試験Bだけに合格している人数は $26 - 18 = 8$ です。(ベン図では b から c を除いた領域)

したがって、2つの円の領域にあてはまる人数は、以下のように計算できます。

$$16 + 8 + 18 = 42$$

よって、円Aと円Bを合わせた人数は 42人 であることがわかりました。

全体の人数からこの人数を引けば、どちらとも不合格だった人数がわかります。

$$50 - 42 = 8$$

以上より、両方の試験ともに不合格だったのは8人であることがわかりました。

(2)は、c の数が不明で、ここに当てはまり得る人数の範囲を求める問題です。

仮に、この領域c(両方の試験に合格した人数)が 0 だとすると、ベン図は以下のようになります。

重なり合わないベン図

しかし、このベン図は、円の中の人数が全体よりも多くなってしまっており、明らかに誤りです。

数値でいうと、試験Aに合格した人数(34人)と試験Bに合格した人数(26人)を足して60人となり、これは全体の50人より10人多くなってしまっています。

つまり、最低でも10人は両方の試験に合格していると言えます。

今度は、試験Bを合格した人全員が、試験Aも合格していると仮定してみます。この場合、ベン図は以下のようになります。

どちらの要素がどちらの子要素となっているベン図

この図は、どちらとも不合格の人数(d)が16人となればあり得ることです。

したがって、両方の試験を合格する最大の人数は26人と言えます。

以上より(2)の答えは、10人以上26人以下であると言えます。

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